Materi Pertemuan 2

 GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Sebelum menentukan persamaan garis singgung lingkaran, ada baiknya kita mengingat kembali mengenai sifat-sifat garis singgung lingkaran. Garis singgung lingkaran merupakan garis yang menyinggung suatu lingkaran. Kata kunci dari definisi tersebut adalah “menyinggung”. Apabila suatu garis menyinggung lingkaran, maka garis tersebut tepat melalui satu titik pada lingkaran. Perhatikan beberapa kedudukan garis terhadap lingkaran berikut.



Berdasarkan gambar di atas, kita dapat melihat bahwa garis k tidak memotong lingkaran O, garis l menyinggung lingkaran O di titik A, dan garis m memotong lingkaran O di titik-titik B dan C. Karena suatu garis singgung tepat melalui satu titik pada lingkaran (misalkan titik A), maka garis singgung tersebut akan tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang menghubungkan titik A dengan titik pusat lingkaran. Sifat dari garis singgung tersebut dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran.

1. Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Pada bagian ini kita akan menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik A(x₁, y₁) pada lingkaran yang memiliki persamaan x² + y² = r², yaitu lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan berjari-jari r. Perhatikan ilustrasi berikut.





Misalkan kita akan menentukan persamaan garis g yang melalui titik A(x₁, y₁), yaitu titik pada lingkaran x² + y² = r². Karena titik A(x₁, y₁) terletak pada lingkaran x² + y² = r² maka,

Selanjutnya kita buat ruas garis OA, yaitu ruas garis yang memiliki ujung-ujung di titik O (pusat lingkaran) dan titik A. Sehingga gradien dari ruas garis tersebut adalah

Karena garis g tegak lurus dengan ruas garis OA, maka

Karena garis g melalui titik A(x₁, y₁) dan bergradien m_g = –x₁/y₁, maka persamaan garis g dapat ditentukan sebagai berikut.

Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh x₁x + y₁y = r². Sehingga, persamaan garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran x² + y² = r² dapat disimpulkan sebagai berikut.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Persamaan garis singgung yang melalui titik A(x₁, y₁) pada lingkaran x² + y² = r² adalah x₁x + y₁y = r².

Untuk lebih memahami mengenai persamaan garis singgung lingkaran, perhatikan contoh berikut.
Contoh: Menentukan Persamaan Garis Singgung
Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (2, –3) pada lingkaran x² + y² = 13.
Pembahasan Dengan (x₁, y₁) = =(2, –3) dan x² + y² = 13, kita mendapatkan x₁ = 2, y₁ = –3, dan r² = 13. Sehingga persamaan garis singgung tersebut adalah

2. Sifat-sifat garis singgung lingkaran

a) Garis singgung lingkaran tegak lurus pada diameter lingkaran yang melalui titik singgungnya.


b) Melalui suatu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu dan hanya satu garis singgung pada lingkaran tersebut.

Garis p bukan garis singgung lingkaran O. Garis n merupakan garis singgung lingkaran O .

c) Melalui suatu titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung pada lingkaran tersebut.


d) Jika P di luar lingkaran maka jarak P ke titik-titik singgungnya adalah sama.

3. Menentukan panjang garis singgung dari suatu titik di luar lingkaran

AB adalah garis singgung lingkaran O , AB tegaklurus OB , OB adalah jari-jari lingkaran. Panjang AB ditentukan dengan menggunakan dalil Pythagoras.

Contoh Soal :

Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat di O dan panjang jari-jari 7cm. Garis AB adalah garis singgung lingkaran yang ditarik dari titik A di luar lingkaran. Jika panjang OA 15cm , panjang AB ...cm

3. Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran

a. Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Diketahui dua lingkaran L1 dan L2 berpusat di P dan Q, dan panjang jari-jari R dan r.

AB adalah garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran L1 dan L2. Panjang PQ = p , panjang AB = d.

Cara menentukan panjang AB sebagai berikut.
- Buatlah garis SQ yang sejajar AB dan sama panjang, sehingga terbentuk segitiga siku-siku PQS .
- Panjang AB SQ , tetapkan panjang SQ dengan dalil Pythagoras.


Contoh:
Dua lingkaran dengan panjang jari-jari 7 cm dan 3 cm, jarak antara dua titik pusat adalah 26 cm. Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah … cm.
A. 24
B. 20
C. 18
D. 16
E. 12

Jadi, Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah 24 cm.
Jawab : A

b. Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Diketahui dua lingkaran L1dan L2 berpusat di P dan Q, dan panjang jari-jari R dan r .

AB adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran L1 dan L2. Panjang PQ = p, panjang AB = d.
Cara menentukan panjang AB sebagai berikut :
- Buatlah garis SQ yang sejajar AB dan sama panjang, sehingga terbentuk segitiga siku-siku PQS.
- Panjang AB = SQ, tetapkan panjang SQ dengan dalil Pythagoras


Contoh:
Dua lingkaran dengan panjang jari-jari 8 cm dan 3 cm, jarak antara dua titik pusat
adalah 13 cm. Panjang garis singgung persekutuan luar adalah … cm.
A. 15
B. 12
C. 10
D. 9
E. 7